Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linier Dua Variabel, dan Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel: Model Matematika yang memuat SPtLDV
Pada
materi sebelumnya, kalian telah mempelajari sistem pertidaksamaan
linear dua variabel. Pada materi ini, kita akan belajar dengan model
matematika yang berkaitan dengan materi tersebut. Apa itu model
matematika? Model matematika adalah suatu hasil interpretasi manusia
dalam menerjemahkan atau merumuskan masalah sehari-hari ke dalam bahasa
matematika sehingga masalah tersebut dapat diselesaikan dengan mudah
secara matematis. Model matematika dapat berupa persamaan,
pertidaksamaan atau fungsi.
Penyelesaian pertidaksamaan linear terdapat dalam daerah himpunan penyelesaian. Dari beberapa penyelesaian terdapat satu penyelesaian terbaik yang selanjutnya disebut penyelesaian optimum dari suatu fungsi. Fungsi yang digunakan untuk menenukan nilai optimum disebut sebagai fungsi tujuan atau objektif.
Untuk lebih jelasnya, mari kita perhatikan contoh berikut!
Contoh 1
Orange Inc. merupakan sebuah perusahaan yang memproduksi dua buah baterai ponsel, yaitu baterai A dan baterai B. Laba penjualan satu unit baterai A adalah Rp 30.000,00, sedangkan untuk baterai B adalah Rp 50.000,00. Berdasarkan suatu perjanjian, perusahaan harus memproduksi paling sedikit 50 unit baterai A setiap minggu. Berdasarkan permintaan, perusahaan dapat menjual semua produknya. Perusahaan menginginkan untuk memaksimumkan laba penjualan setiap minggu dengan berbagai keterbatasan yang dimiliki, yaitu: • waktu perakitan : tersedia 240 jam setiap minggu • waktu pengujian : tersedia 140 jam setiap minggu Satu unit baterai A membutuhkan 4 jam perakitan dan 1 jam pengujian dan satu unit baterai B membutuhkan 3 jam perakitan dan 2 jam pengujian. Buatlah model matematika dari permasalahan di atas!
Pembahasan
Langkah-langkah yang harus dilakukan untuk membuat model matematika dari permasalahan tersebut adalah:
1. Menentukan variabel-variabel keputusan
Misalkan
• x : jumlah baterai A yang diproduksi setiap minggu
• y : jumlah baterai B yang diproduksi setiap minggu.
Karena jumlah baterai tidak mungkin negatif, maka x ≥ 0 dan y ≥0.
2. Merumuskan fungsi tujuan
Tujuan perusahaan adalah memaksimumkan laba penjualan baterai A dan baterai B setiap minggu. Karena laba penjualan satu unit baterai A adalah Rp 30.000,00 dan untuk baterai B adalah Rp 50.000,00, maka laba penjualan x buah baterai A dan y buah baterai B setiap minggu adalah z = 30.000x + 50.000y, sehingga fungsi tujuannya adalah untuk memaksimumkan z = 30.000x + 50.000y.
3. Merumuskan batasan-batasan
Waktu perakitan yang dibutuhkan untuk memproduksi x buah baterai A dan y buah baterai B setiap minggu adalah 4x + 3y karena satu unit baterai A membutuhkan 4 jam perakitan dan satu unit baterai B membutuhkan 3 jam perakitan. Selanjutnya, karena waktu perakitan yang tersedia setiap minggunya adalah 240 jam, maka diperoleh : 4x + 3y ≤ 240
Waktu pengujian yang dibutuhkan untuk memproduksi x buah baterai A dan y buah baterai B setiap minggu adalah x + 2y karena satu unit baterai A membutuhkan 1 jam pengujian dan satu unit baterai B membutuhkan 2 jam pengujian. Selanjutnya, karena waktu pengujian yang tersedia setiap minggunya adalah 140 jam, maka diperoleh : x + 2y ≤ 140
Orange inc. harus memproduksi paling sedikit 50 unit baterai A setiap minggu. Dengan demikian, x ≥ 50
Dari hasil pembahasan di atas, maka dapat kita simpulkan bahwa model matematika dari masalah tersebut adalah :
4x + 3y ≤ 240
x + 2y ≤ 140
x ≥ 50
x ≥ 0
y ≥ 0
untuk memaksimumkan z = 30.000x + 50.000y
Setelah kalian memahami cara membuat model matematika dari contoh 1, mari kita pahami contoh permasalahan yang kedua.
Contoh 2
PT Juni Property adalah suatu pengembang perumahan di daerah pemukiman yang baru. PT tersebut memiliki tanah seluas 15.000 meter persegi dan berencana akan membangun dua tipe rumah, yaitu tipe A dengan luas 60 meter persegi dan tipe B dengan luas 90 meter persegi. Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih dari 200 unit. Pengembang merancang laba rumah tipe A Rp 5.000.000,00 dan laba rumah tipe B Rp 4.000.000,00. Buatlah model matematika dari permasalahan di atas!
Pembahasan
Misalkan
• x : banyaknya rumah tipe A yang akan dibangun
• y : banyaknya rumah tipe B yang akan dibangun
Keterbatasan yang dimiliki pengembang ada dua yaitu :
• Luas tanah yang terbatas yaitu 15.000 meter persegi
• Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih dari 200 unit
Model matematika yang dapat dibuat adalah sebagai berikut:
Memaksimumkan z = 5.000.000x + 4.000.000y
dengan batasan-batasan
60x + 90y ≤ 15.000
x + y ≤ 200
x ≥ 0
y ≥ 0
Penyelesaian pertidaksamaan linear terdapat dalam daerah himpunan penyelesaian. Dari beberapa penyelesaian terdapat satu penyelesaian terbaik yang selanjutnya disebut penyelesaian optimum dari suatu fungsi. Fungsi yang digunakan untuk menenukan nilai optimum disebut sebagai fungsi tujuan atau objektif.
Untuk lebih jelasnya, mari kita perhatikan contoh berikut!
Contoh 1
Orange Inc. merupakan sebuah perusahaan yang memproduksi dua buah baterai ponsel, yaitu baterai A dan baterai B. Laba penjualan satu unit baterai A adalah Rp 30.000,00, sedangkan untuk baterai B adalah Rp 50.000,00. Berdasarkan suatu perjanjian, perusahaan harus memproduksi paling sedikit 50 unit baterai A setiap minggu. Berdasarkan permintaan, perusahaan dapat menjual semua produknya. Perusahaan menginginkan untuk memaksimumkan laba penjualan setiap minggu dengan berbagai keterbatasan yang dimiliki, yaitu: • waktu perakitan : tersedia 240 jam setiap minggu • waktu pengujian : tersedia 140 jam setiap minggu Satu unit baterai A membutuhkan 4 jam perakitan dan 1 jam pengujian dan satu unit baterai B membutuhkan 3 jam perakitan dan 2 jam pengujian. Buatlah model matematika dari permasalahan di atas!
Pembahasan
Langkah-langkah yang harus dilakukan untuk membuat model matematika dari permasalahan tersebut adalah:
1. Menentukan variabel-variabel keputusan
Misalkan
• x : jumlah baterai A yang diproduksi setiap minggu
• y : jumlah baterai B yang diproduksi setiap minggu.
Karena jumlah baterai tidak mungkin negatif, maka x ≥ 0 dan y ≥0.
2. Merumuskan fungsi tujuan
Tujuan perusahaan adalah memaksimumkan laba penjualan baterai A dan baterai B setiap minggu. Karena laba penjualan satu unit baterai A adalah Rp 30.000,00 dan untuk baterai B adalah Rp 50.000,00, maka laba penjualan x buah baterai A dan y buah baterai B setiap minggu adalah z = 30.000x + 50.000y, sehingga fungsi tujuannya adalah untuk memaksimumkan z = 30.000x + 50.000y.
3. Merumuskan batasan-batasan
Waktu perakitan yang dibutuhkan untuk memproduksi x buah baterai A dan y buah baterai B setiap minggu adalah 4x + 3y karena satu unit baterai A membutuhkan 4 jam perakitan dan satu unit baterai B membutuhkan 3 jam perakitan. Selanjutnya, karena waktu perakitan yang tersedia setiap minggunya adalah 240 jam, maka diperoleh : 4x + 3y ≤ 240
Waktu pengujian yang dibutuhkan untuk memproduksi x buah baterai A dan y buah baterai B setiap minggu adalah x + 2y karena satu unit baterai A membutuhkan 1 jam pengujian dan satu unit baterai B membutuhkan 2 jam pengujian. Selanjutnya, karena waktu pengujian yang tersedia setiap minggunya adalah 140 jam, maka diperoleh : x + 2y ≤ 140
Orange inc. harus memproduksi paling sedikit 50 unit baterai A setiap minggu. Dengan demikian, x ≥ 50
Dari hasil pembahasan di atas, maka dapat kita simpulkan bahwa model matematika dari masalah tersebut adalah :
4x + 3y ≤ 240
x + 2y ≤ 140
x ≥ 50
x ≥ 0
y ≥ 0
untuk memaksimumkan z = 30.000x + 50.000y
Setelah kalian memahami cara membuat model matematika dari contoh 1, mari kita pahami contoh permasalahan yang kedua.
Contoh 2
PT Juni Property adalah suatu pengembang perumahan di daerah pemukiman yang baru. PT tersebut memiliki tanah seluas 15.000 meter persegi dan berencana akan membangun dua tipe rumah, yaitu tipe A dengan luas 60 meter persegi dan tipe B dengan luas 90 meter persegi. Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih dari 200 unit. Pengembang merancang laba rumah tipe A Rp 5.000.000,00 dan laba rumah tipe B Rp 4.000.000,00. Buatlah model matematika dari permasalahan di atas!
Pembahasan
Misalkan
• x : banyaknya rumah tipe A yang akan dibangun
• y : banyaknya rumah tipe B yang akan dibangun
Keterbatasan yang dimiliki pengembang ada dua yaitu :
• Luas tanah yang terbatas yaitu 15.000 meter persegi
• Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih dari 200 unit
Model matematika yang dapat dibuat adalah sebagai berikut:
Memaksimumkan z = 5.000.000x + 4.000.000y
dengan batasan-batasan
60x + 90y ≤ 15.000
x + y ≤ 200
x ≥ 0
y ≥ 0
SHARE
0 Komentar
Post a Comment
Berikan pendapat Anda tentang materi yang kami sajikan!