Matriks: Sifat Perkalian Matriks

Dalam pelajaran sebelumnya, kalian telah belajar tentang bagaimana melakukan operasi perkalian diantara 2 buah matriks. Seperti yang telah kita ketahui, tidak semua matriks dapat dikalikan. Sebagai contoh, untuk mengalikan matriks A dengan matriks B : A X B, jumlah kolom dari matriks A harus sama dengan jumlah baris dari matriks B. Selain itu, perlu diingat pula bahwa : matriks hasil perkalian tersebut mempunyai jumlah baris yang sama dengan matriks A dan mempunyai jumlah kolom yang sama dengan matriks B.

Pada pembahasan selanjutnya, kita akan meninjau beberapa sifat matriks perkalian dan memeriksa apakah operasi perkalian tersebut bersifat komutatif, distributif, ataukah asosiatif.

Contoh :
1)        1 1 1               1 0 0
     A = 2 3 4          B = 2 3 1
           0 0 1               7 0 3

Periksalah, apakah AB = BA, untuk menunjukkan apakah sifat komutatif berlaku.

2)           0 0 2          
     C =  1 0 3          
            0 2 2                

Periksalahan apakah (A * B) * C = A * (B * C), untuk menunjukkan apakah sifat asosiatif berlaku.

3) Dengan menggunakan ketiga matriks pada contoh di atas : A, B, dan C, periksalah apakah sifat distibutif : A * (B + C) = A * B + A * C berlaku.

Jawaban dan Penjelasan :
1) Pertama-tama, kalikan dua matriks bujur sangkar yang ada. Selanjutnya, karena matriks bujur sangkar mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama, maka matriks hasil perkalian, yaitu AB dan BA dapat dicari. Selanjutnya, dengan mengikuti aturan perkalian matriks pada pelajaran sebelumnya, diperoleh :
                10  3  4                    1   1   1
    A * B =  36  9 15,        B * A = 8 11 15
                  7  0  3                    7  7  10

Dari hasil di atas, dapat kita lihat bahwa kedua matriks hasil perkalian di atas tidaklah sama. Dengan demikian, perkalian matriks tidak bersifat komutatif. Namun, perlu kalian ingat bahwa : jika dua matriks yang sama dikalikan, maka sifat komutatif perkalian berlaku. Begitu juga jika perkalian tersebut adalah dengan elemen identitas dari matriks identitas I_n (n – jumlah baris dan kolom dari matriks bujur sangkar). Adapun elemen identitas adalah sebuah matriks dengan elemen-elemen pada diagonal utamanya adalah 1 dan elemen-elemen lainnya adalah 0.


2)         
                                      3   8  37                           0   0  2     
         (A * B) * C =   9  30 129,             B * C =  3  2 15,
                              0    6  20                             0  6 20     

                    3   8  37
A * (B * C) =  9  30 129
                    0
6   20

Seperti yang kalian lihat, dua matriks yang dihasilkan adalah sama. Dengan demikian, sifat asosiatif berlaku dalam operasi perkalian matriks. Berbeda dengan sifat komutatif, sifat asosiatif berlaku untuk sebarang matriks yang dapat dikalikan.



3)       

               1 0 2                          11   5  11
 B + C = 3 3 4,      A * (B + C) = 39 17  36
            7 2 5                           7    2    5

            10 3  4                     1   2    7
 A * B = 36 9 15,      A * C =   3   8  21,
             7  0  3                    
0   2  
2      

                        11  5  11
A * B + A * C =   39 17 36
                
      7   2    5

Jadi, dapat disimpulkan bahwa sifat distributif dan asosiatif berlaku dalam operasi perkalian matriks.

Ishar Yulian Satriani

Entah mau ngetik apaan :v

SHARE